Question

8．已知α，β∈（$\frac{π}{2}$，π），且sinα+cosα=a，cos（β-α）=$\frac{3}{5}$．
（1）若a=$\frac{1}{3}$，求sinαcosα+tanα-$\frac{1}{3cosα}$的值；
（2）若a=$\frac{7}{13}$，求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出正弦函数与余弦函数的乘积，利用同角三角函数的基本关系式化简求解即可．
（2）利用已知条件求出正弦函数与余弦函数值，然后利用两角和与差的三角函数化简求解即可．

解答 解：（1）∵$sinα+cosα=\frac{1}{3}$，
∴平方得$sinαcosα=-\frac{4}{9}$，
$sinαcosα+tanα-\frac{1}{3cosα}=sinαcosα+tanα-\frac{sinα+cosα}{cosα}$
=$sinαcosα+tanα-tanα-1=sinαcosα-1=-\frac{13}{9}$
（2）令sinα-cosα=t，
∵$α∈（\frac{π}{2}，π）$，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴t＞0，
由${（\frac{7}{13}）^2}+{t^2}={（sinα+cosα）^2}+{（sinα-cosα）^2}=2$
解得$t=\frac{17}{13}$，又$sinα+cosα=\frac{7}{13}$，
∴$sinα=\frac{12}{13}$，$cosα=-\frac{5}{13}$，
∵$\frac{π}{2}＜β＜π$，$\frac{π}{2}＜α＜π$，
∴$-\frac{π}{2}＜\frac{π}{2}-α＜β-α＜π-α＜\frac{π}{2}$
∴$sin（\frac{π}{2}-α）＜sin（β-α）＜sin（π-α）$，即$-\frac{5}{13}＜sin（β-α）＜\frac{12}{13}$，
∵$cos（β-α）=\frac{3}{5}$，$sin（β-α）=\frac{4}{5}$，
∴$sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+sinαcos（β-α）=\frac{16}{65}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，以及转化思想的应用．