Question

13．已知函数f（x）=Asin（$\frac{π}{3}$x+φ），x∈R，A＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$．y=f（x）的部分图象如图所示，P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．点R的坐标为（1，0），∠PRQ=$\frac{3π}{4}$．
（1）求f（x）的最小正周期以及解析式．
（2）用五点法画出f（x）在x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{11}{2}$]上的图象．

Answer 1

分析 （1）根据周期公式求出函数f（x）的最小正周期，由P（1，A）在$f（x）=Asin（\frac{π}{3}x+φ）$的图象上，结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可求φ，由图象和条件设出点Q的坐标，再过点Q做x轴的垂线，设垂足为D，根据条件和正切函数求出A，从而可得函数解析式；
（2）利用五点作图法即可作图得解．

解答 解：（1）由题意得：f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{π}{3}}}=6$，…（1分）
因为P（1，A）在$f（x）=Asin（\frac{π}{3}x+φ）$的图象上，
所以$sin（\frac{π}{3}+φ）=1$，
所以$\frac{π}{3}+φ=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，即$φ=\frac{π}{6}+2kπ（k∈Z）$，
又因为$0＜φ＜\frac{π}{2}$，
因此，$φ=\frac{π}{6}$…（3分）
过Q做QD⊥x轴，垂足为D，设D（x₀，0），则Q（x₀，-A），由周期为6可知，RD=3，
由于$∠PRQ=\frac{3π}{4}$，
所以$∠DRQ=\frac{π}{4}$，于是QD=RD=3，
所以A=3，
∴$f（x）=3sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}）$．…（6分）
（2）列表如下：

x	-0.5	1	2.5	4	5.5
$\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
$3sin（\frac{π}{3}x+\frac{π}{6}）$	0	3	0	-3	0

描点连线，作图如下：

点评 本题考查了y=Asin（ωx+φ）的周期和图象的关系，以及A的几何意义，构造直角三角形和求角是关键，考查作图、识图能力，属于中档题．