Question

已知函数f（x）=2x+alnx，
（Ⅰ）若f（x）在（1，f（1））的切线为y=3x-1，求a；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=2+

a

x

，k=f′（1）=2+a=3，由此能求出a=1．
（Ⅱ）由已知得2x+alnx≤（a+3）x-

1

2

x2，a（x-lnx）≥

1

2

x2-x，从而a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，设g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[1，e]，
由此利用导数性质能求出a≥-

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2x+alnx，
∴x＞0，f（1）=2，
f′(x)=2+

a

x

，
∵f（x）在（1，f（1））的切线为y=3x-1，
∴k=f′（1）=2+a=3，
解得a=1．
（Ⅱ）∵存在x∈[1，e]，使不等式f（x）≤（a+3）x-

1

2

x²成立，
∴2x+alnx≤（a+3）x-

1

2

x2，
∴a（x-lnx）≥

1

2

x2-x，
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，
且等号不能同时取到，∴lnx＜x，即x-lnx＞0，
∴a≥

1 2 x2-x

x-lnx

，设g（x）=

1 2 x2-x

x-lnx

，x∈[1，e]，
∵g′(x)=

(x-1)(x-lnx)-(1- 1 x )( 1 2 x2-x)

(x-lnx)2

=

(x-1)( 1 2 x+1-lnx)

(x-lnx)2

，
当x∈（1，e）时，x-1＞0，lnx＜1，
∴

1

2

x+1-lnx＞0，
∴g′（x）＞0，又∵g（x）在x=1和x=e处连续，
∴g（x）在x∈[1，e]时为增函数，因而g（x）≥g（1）=-

1

2

，
∴a≥-

1

2

．…（12分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．