Question

14．四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=4PQ=4，底面为直角梯形∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$，M，N分别是PD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）取AP的中点E，连结ED，则ED∥CN证明MQ∥CN，然后证明MQ∥平面PCB．
（2）以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面的MCN的法向量，又$\overrightarrow{AP}=（{0，0，4}）$为平面ABCD的法向量，利用空间向量的数量积求解截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$．

解答 解：（1）取AP的中点E，连结ED，则ED∥CN，…1分依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，…2分
又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，∴MQ∥平面PCB…4分
（2）以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz，
设平面的MCN的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，又$\overrightarrow{CM}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，2}），\overrightarrow{CN}=（{-\sqrt{2}，0，2}）$
则有：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{CM}⇒（{x，y，z}）•（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，2}）=0⇒-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-y+2z=0\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{CN}⇒（{x，y，z}）•（{-\sqrt{2}，0，2}）=0⇒-\sqrt{2}x+2z=0\end{array}\right.$
令z=1，则$x=\sqrt{2}，y=1⇒\overrightarrow n=（{\sqrt{2}，1，1}）$，…6分

又$\overrightarrow{AP}=（{0，0，4}）$为平面ABCD的法向量，
∴$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AP}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AP}}|}}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$，
又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$…8分．

点评 本题考查空间向量的数量积求解二面角的平面角的大小，直线与平面平行的判断，考查空间想象能力以及计算能力逻辑推理能力．