Question

3．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，（x＞1）}\\{{x^2}-6x+9，（x≤1）}\end{array}}\right.$，则不等式f（x）＞f（1）解集是{x|x＜1或x＞2}．

Answer 1

分析 先求出f（1）的值，由 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{2}^{x}＞4}\end{array}\right.$得 x的范围，再由$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{{x}^{2}-6x+9＞4}\end{array}\right.$  求得x的范围，再取并集即得所求．

解答 解：∵$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}，（x＞1）}\\{{x^2}-6x+9，（x≤1）}\end{array}}\right.$，
∴f（1）=4．
由$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{{2}^{x}＞4}\end{array}\right.$解得x＞2．
由$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{{x}^{2}-6x+9＞4}\end{array}\right.$ 解得x＜1．
故不等式f（x）＞f（1）的解集是{x|x＜1或x＞2}，
故答案为：{x|x＜1或x＞2}

点评 本题主要考查指数不等式的解法，一元二次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．