Question

13．已知$2sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=0$．
（1）求tanx；
（2）求$\frac{cos2x}{{\sqrt{2}cos（{\frac{π}{4}+x}）sinx}}$的值．

Answer 1

分析 （1）求出半角的正切函数值，利用二倍角公式求解即可．
（2）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式为正切函数的形式，利用（1）的结果求解即可．

解答 解：（1）由题意可得：$2sin\frac{x}{2}-cos\frac{x}{2}=0$，∴$tan\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$，
∴$tanx=\frac{{2tan\frac{x}{2}}}{{1-ta{n^2}\frac{x}{2}}}=\frac{{2×\frac{1}{2}}}{{1-{{（{\frac{1}{2}}）}^2}}}=\frac{4}{3}$．----------------（5分）
（2）$\frac{cos2x}{{\sqrt{2}cos（{\frac{π}{4}+x}）sinx}}$=$\frac{{co{s^2}x-si{n^2}x}}{{（{cosx-sinx}）sinx}}$=$\frac{{co{s^2}x-si{n^2}x}}{{cosxsinx-si{n^2}x}}$=$\frac{{1-ta{n^2}x}}{{tanx-ta{n^2}x}}$=$\frac{{1-{{（{\frac{4}{3}}）}^2}}}{{\frac{4}{3}-{{（{\frac{4}{3}}）}^2}}}$=$\frac{7}{4}$．----------------（10分）

点评 本题考查二倍角公式以及两角和与差的三角函数以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．