Question

1．已知函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．设a=2，b=$\frac{1}{2}$．
（1）求方程f（x）=2的根．
（2）对任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用方程，直接求解即可；（2）列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1），a=2，b=$\frac{1}{2}$．
方程f（x）=2；即：2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，可得x=0．
（2）不等式f（2x）≥mf（x）-6恒成立，
即2^2x+$\frac{1}{{2}^{2x}}$≥m（2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$）-6恒成立．
令t=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，t≥2．
不等式化为：t²-mt+4≥0在t≥2时，恒成立．
可得：△≤0或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}≤2}\\{{2}^{2}-2m+4≥0}\end{array}\right.$，
即：m²-16≤0或m≤4，
∴m∈（-∞，4]．
实数m的最大值为：4．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力．