Question

11．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，$\overrightarrow{c}$=5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$，当实数k为何值时．
（1）$\vec c$∥$\vec d$；
（2）$\vec c$⊥$\vec d$．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{d}$，则有5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=λ（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），分析可得3λ=5，且kλ=-3，解可得k的值；
（2）若$\vec c$⊥$\vec d$，则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，则有（5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=15$\overrightarrow{a}$²-3k$\overrightarrow{b}$²+（-9+5k）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，解可得k的值．

解答 解：根据题意，|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=3，$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|cosθ=2×3×$\frac{1}{2}$=3；
（1）若$\vec c$∥$\vec d$，则有$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{d}$，
则有5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$=λ（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$），
则有3λ=5，且kλ=-3，
解可得$k=-\frac{9}{5}$；
（2）若$\vec c$⊥$\vec d$，则$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，
即（5$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=15$\overrightarrow{a}$²-3k$\overrightarrow{b}$²+（-9+5k）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
解可得：k=$\frac{11}{4}$．

点评 本题考查向量的垂直．平行的判定方法，涉及向量数量积计算，关键是掌握向量平行、垂直的判定方法．