Question

19．已知圆C：x²+y²-2x-8y+13=0，直线l：ax+y-1=0（a∈R）
（Ⅰ）若直线l被圆C截得的弦长为$2\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（Ⅱ）若a=2，P是直线l上的动点，PA，PB是圆C的切线，A，B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆C的圆心和半径，根据点到直线的距离求出a的值，从而求出直线方程即可；
（Ⅱ）求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值，切线长最小时，四边形PACB的面积最小．由此能求出四边形PACB面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）圆C：x²+y²-2x-8y+13=0，即（x-1）²+（y-4）²=4，
故圆心是（1，4），半径r=2，
故（1，4）到直线ax+y-1=0的距离d=$\frac{|a+4-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{{r}^{2}-3}$=1，
解得：a=-$\frac{4}{3}$，
故直线l：4x-3y+3=0；
（Ⅱ）a=2时，直线l：2x+y-1=0，
圆心C（1，4）到直线l距离d=$\frac{|2+4-1|}{\sqrt{4+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是$\sqrt{5-4}$=1，
切线长最小时，四边形PACB的面积最小．
∴四边形PACB面积的最小值是S_min=2×（$\frac{1}{2}$×2×1）=2．

点评 本题考查四边形面积的最小值的求法，考查直线和圆的基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．