Question

6．已知函数f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$（x∈R）在区间[1，e]上的最小值为4，则m=-3e．

Answer 1

分析 求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．

解答 解：函数f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{m}{{x}^{2}}$．
当m≥0，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）_min=f（1）=-m=4，m=-4，矛盾舍去；
当m＜0时，
若x∈（0，-m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
若x∈（-m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∴f（-m）=ln（-m）+1为极小值，也是最小值；
①当-m＜1，即-1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-m=4，得m=-4（矛盾）；
②当-m＞e，即m＜-e时，f（x）在[1，e]上单调递减，
f（x）_min=f（e）=1-$\frac{m}{e}$=4，解得m=-3e．
③当-1≤-m≤e，即-e≤m≤-1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（-m）=ln（-m）+1=4．
此时m=-e³＜-e（矛盾）．
综上m=-3e．
故答案为：-3e．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．