Question

2．设P：方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线；q：函数g（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$x）+6，在R上有极值点，求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p，方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线则（2m-1）（m+2）＜0，求得m．
命题q：函数g（x）=x³+mx²+（m+$\frac{4}{3}$）x+6在R上有极值点，可根据二次方程根与系数的关系（韦达定理）及二次函数零点个数的判断方法，得到命题p与命题q对应的参数a的取值范围，即可得到答案．

解答 解：当命题p为真时，方程$\frac{{x}^{2}}{2m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{m+2}$=1表示双曲线，则（2m-1）（m+2）＜0，
解得-2＜m＜$\frac{1}{2}$；
当命题q为真时：g′（x）=3x²+2mx+m+$\frac{4}{3}$，△=4m²-12（m+$\frac{4}{3}$）＞0∴m²-3m-4＞0
故m＞4或m＜-1．
∵“p∧q”为真命题，∴p，q同时为真命题．
$\left\{\begin{array}{l}{m＞4或m＜-1}\\{-2＜m＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$⇒-2＜m＜-1

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，属于中档题．