Question

18．已知$\overrightarrow a$=（x-$\sqrt{2}$，y），$\overrightarrow b$=（x+$\sqrt{2}$，y）．动点M（x，y）满足$|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|$=2$\sqrt{3}$
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线l与C交于A，B两点，坐标原点O到l得距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△ABO面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|=${\sqrt{{{（x-\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}^{\;}}$+$\sqrt{{{（{x+\sqrt{2}}）}^2}+{y^2}}$=$2\sqrt{3}$知动点M是以（$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程．
（2）设为y=kx+m，由O到L的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得：$\frac{{\left|{m\left.{\;}\right|}\right.}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即${m^2}=\frac{3}{4}（{1+{k^2}}）$，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），可得|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）[（-$\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$）²-4$\frac{{3（{m^2}-1）}}{{3{k^2}+1}}$]=3+$\frac{{12{k^2}}}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}$=3+$\frac{12}{{9{k^2}+\frac{1}{k^2}+6}}$≤3+1=4，当|AB|取最大时，△AOB面积S最大．

解答 （1）由|$\overrightarrow a$|+|$\overrightarrow b$|=${\sqrt{{{（x-\sqrt{2}）}^2}+{y^2}}^{\;}}$+$\sqrt{{{（{x+\sqrt{2}}）}^2}+{y^2}}$=$2\sqrt{3}$知动点M是以
（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）为焦点的椭圆…（3分）
记该椭圆的长短半轴分别为a，b，半焦距为C，则a=$\sqrt{3}$b=1∴C：$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$（6分）
（2）由题知L的斜率存在，故可设为y=kx+m，
 由O到L的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得：$\frac{{\left|{m\left.{\;}\right|}\right.}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$即${m^2}=\frac{3}{4}（{1+{k^2}}）$…（8分）
将y=kx+m代入$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0 设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
则x₁+x₂=-$\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，x₁x₂=$\frac{{3（{m^2}-1）}}{{3{k^2}+1}}$．
而|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²=（1+k²）[（-$\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$）²-4$\frac{{3（{m^2}-1）}}{{3{k^2}+1}}$]=3+$\frac{{12{k^2}}}{{9{k^4}+6{k^2}+1}}$=3+$\frac{12}{{9{k^2}+\frac{1}{k^2}+6}}$≤3+1=4 
当且仅当k=±$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$|AB|_max=2，…（10分）
∴当|AB|取最大时，△AOB面积S最大，S_max=$\frac{1}{2}$|AB|_max×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题