Question

17．已知函数f（x）=x³+mx²+nx-2的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为9x-y+3=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式和单调区间；
（2）若函数f（x）（x∈[0，3]）的值域为A，函数f（x）（x∈[a，a+$\frac{3}{2}$]）的值域为B，当B⊆A时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由f′（-1）=9及点（-1，f（-1））在切线9x-y+3=0上列关于m，n的方程组求得m，n的值，则函数解析式可求，进一步利用导数求得函数的单调区间；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，3）内单调递增，求出集合A，再由x∈[a，a+$\frac{3}{2}$]的值域为B，且B⊆A得到关于a的不等式组，求解不等式组可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2mx+n，
∴f′（-1）=-2m+n+3，①
由题意可知f′（-1）=9，即2m-n+6=0，
∵点（-1，f（-1））在切线9x-y+3=0上，
∴f（-1）=-6，即（-1）³+m（-1）²+n（-1）-2=-6，即m-n+3=0，②
联立①②解得m=-3，n=0，
∴f（x）=x³-3x²-2．
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，函数f（x）的单调递减区间为（0，2）；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）内单调递减，在（2，3）内单调递增，
且f（0）=f（3）=-2，f（2）=-6，∴A=[-6，-2]．
由（1）知f（-1）=f（2）=-6，
∵B⊆A，∴$[{a，\;a+\frac{3}{2}}]⊆[{-1，\;3}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥-1\\ a+\frac{3}{2}≤3\end{array}\right.$，解得$-1≤a≤\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围是[-1，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题．