Question

12．已知两点M（1，1），N（4，-2）在⊙O上，圆心O在直线2x+y=0上．
（1）求⊙O的方程；
（2）若点P（异于M，N）在⊙O上，求△PMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设⊙O的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F＞0则圆心O的坐标为$（{-\frac{D}{2}，\;-\frac{E}{2}}）$ 
依题意$\left\{\begin{array}{l}{1^2}+{1^2}+D+E+F=0\\{4^2}+{（{-2}）^2}+4D-2E+F=0\\ 2（{-\frac{D}{2}}）-\frac{E}{2}=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=4\\ F=-4\end{array}\right.$，即可．
（2）$|MN|=\sqrt{{{（{1-4}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=3\sqrt{2}$
圆O的圆心（1，-2）到直线MN的距离为$\frac{|1-2-2|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
点P到直线MN的最大距离$3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
即可求得△PMN面积的最大值为$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×（{3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）=\frac{9}{2}（{\sqrt{2}+1}）$．

解答 解：（1）设⊙O的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F＞0则圆心O的坐标为$（{-\frac{D}{2}，\;-\frac{E}{2}}）$ …（2分）
依题意$\left\{\begin{array}{l}{1^2}+{1^2}+D+E+F=0\\{4^2}+{（{-2}）^2}+4D-2E+F=0\\ 2（{-\frac{D}{2}}）-\frac{E}{2}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}D+E+F+2=0\\ 4D-2E+F+20=0\\ 2D+E=0\end{array}\right.$…（3分）
解得$\left\{\begin{array}{l}D=-2\\ E=4\\ F=-4\end{array}\right.$，满足D²+E²-4F＞0…（5分）
∴所求⊙O的方程为x²+y²-2x+4y-4=0…（6分）
（2）$|MN|=\sqrt{{{（{1-4}）}^2}+{{（{1+2}）}^2}}=3\sqrt{2}$…（7分）
直线MN方程为x+y-2=0…（8分）
圆O的圆心坐标为（1，-2），半径为3…（9分）
其到直线MN的距离为$\frac{|1-2-2|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
点P到直线MN的最大距离$3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴△PMN面积的最大值为$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×（{3+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}}）=\frac{9}{2}（{\sqrt{2}+1}）$…（12分）

点评 本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．