Question

在△ABC所在平面上有三点P、Q、R，满足

PA

+

PB

+

PC

=

AB

，

QA

+

QB

+

QC

=

BC

，

RA

+

RB

+

RC

=

CA

，则△PQR的面积与△ABC的面积之比为

 

．

Answer 1

分析：变形向量式可得

PC

=2

AP

，可得P是AC的三等分点，同理得到Q、R分别是AB，BC的三等分点；利用三角形的面积公式求出三角形的面积比．

解答：解：由

PA

+

PB

+

PC

=

AB

可得

PA

+

PC

=

AB

-

PB

，
∴

PA

+

PC

=

AB

+

BP

=

AP

，∴

PC

=2

AP

∴P为线段AC的一个三等分点，
同理可得Q、R分别AB，BC的一个三等分点，
△PQR的面积为△ABC的面积减去三个小三角形面积，
∴S_△PQR=S_△ABC-（

1

2

×

2

3

a×

1

3

c×sinB+

1

2

×

2

3

b×

1

3

a×sinC+

1

2

×

2

3

c×

1

3

b×sinA）
=S_△ABC-（

2

9

×

1

2

acsinB+

2

9

×

1

2

absinC+

2

9

×

1

2

bcsinA）
=S_△ABC-（

2

9

S_△ABC+

2

9

S_△ABC+

2

9

S_△ABC）=

1

3

S_△ABC
∴所求的面积比为1：3，
故答案为：1：3

点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、相似三角形的面积关系．