Question

已知函数f（x）=x²+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当时，方程f（x）=b恰有三个根，求实数b的取值范围；
（2）当时，是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在请说明理由；
（3）若a＞0，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，确定函数的单调性，从而要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（）＞0，g（）＜0，从而可求实数b的取值范围；
（2）分类讨论，确定函数的单调性，求出函数的最值，即可求得结论；
（3）要使函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，则最小值在x=a处取得，最大值在处取得．
解答：解：（1）设g（x）=4x²-x-b（x≥）
令g′（x）=8x-1=0，可得x=，
∵，∴g（x）在[，+∞）上单调增；
g（x）=-2x²+x-b（x＜）
令g′（x）=-4x+1=0，可得x=，
∵，∴g（x）在（-∞，）上单调增；g（x）在[，）上单调减；
要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（）=-2（）²+-b=-b＞0，∴b＜
g（）=-2（）²+-b=-b＜0，∴b＞
∴；
（2）当m＜n≤时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，所以，所以m=n，矛盾；
当m≤≤n＜时，n=f（）=，矛盾；
当m≤＜≤n时，n≥＞＞f（m），故f（x）在区间[m，n]上的最大值在[，n]上取到
∵f（x）在[，n]上单调递增，∴n=f（n），∴n=
又，故，所以f（x）在区间[m，n]上的最小值在上取到．
又f（x）在区间上单调递增，故m=f（m），∴m=0
故
当时，由x∈，知，，矛盾．
当时，f（x）在区间上单调递减，上单调递增．故，矛盾
当时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，故，得，矛盾．
综上所述，即存在区间满足条件．
（3）当a＞0时，函数的图象如右，
要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在处取得；
f（a）=a²，在区间（-∞，a）内，函数值为a²时，所以；
，而在区间（a，+∞）内函数值为时，所以．…..（12分）
点评：本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．