Question

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）试求λ、μ的值，使得数列{a_n+λn²+μn}为等比数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由数列{a_n+λn²+μn}为等比数列得到当q≠0时，a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=q（a_n+λn²+μn）对?n∈N^*成立，然后把a_n+1=2a_n-n²+3n，代入得到①，所以根据多项式为0的条件解出λ、μ、q的值即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到a_n的通项，代入得到b_n的通项，然后根据bn=

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

列举s_n得到s_n＜

5

3

（1）；然后再利用

1

6

n（n+1）（2n+1）s_n=（1²+2²+3²+…+n²）（

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＞（1+1+1+…+1）²（n个1）=n²即得到Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

（2），综合（1）（2）得证．

解答：解：（Ⅰ）若{a_n+λn²+μn}为等比数列，
则存在q≠0，使a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=q（a_n+λn²+μn）对?n∈N^*成立．
由已知：a_n+1=2a_n-n²+3n，代入上式，
整理得（q-2）a_n+（λq-λ+1）n²+（μq-2λ-μ-3）n-λ-μ=0①
∵①式对?n∈N^*成立，
∴

q-2=0 λq-λ+1=0 μq-2λ-μ-3=0 -λ-μ=0

解得

q=2 λ=-1 μ=1

∴当λ=-1，μ=1时，数列{a_n+λn²+μn}是公比为2的等比数列；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：a_n-n²+n=（a₁-1²+1）•2^n-1，即a_n=2^n-1+n²-n
所以bn=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

∵bn=

1

n2

＜

1

n2- 1 4

=

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

n≥2时，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+(

1

3 2

-

1

5 2

)+(

1

5 2

-

1

7 2

)+…+(

1

n- 1 2

-

1

n+ 1 2

)=1+

2

3

-

1

n+ 1 2

＜

5

3

（1）
现证：Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

（n≥2）
n≥2时，

1

6

n（n+1）（2n+1）s_n=（1²+2²+3²+…+n²）（

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＞（1+1+1+…+1）²（n个1）=n²
∴Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

（2）
根据（1）（2）可知

5

3

＞Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

对于n≥2，n∈N^*都成立．

点评：考查学生会根据已知条件判断数列是等比数列，会利用数列求和的方法证明不等式．