Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求方程的实数解；

（Ⅱ）如果数列满足，（），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）存在使得;（Ⅲ）见解析.

【解析】（Ⅰ）由题意，通过解分式方程即可得方程的实数解析；（Ⅱ）通过函数的单调性判断数列通项的范围，再利用数学归纳法进行证明；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得通项的范围，构造新数列，通过计算数列的前和及其范围，再利用数学归纳法证明之.

试题解析：（Ⅰ）；

（Ⅱ）存在使得．

证法1：因为，当时，单调递减，所以．因为，所以由得且．下面用数学归纳法证明．

因为，所以当时结论成立．

假设当时结论成立，即．由于为上的减函数，所以，从而，

因此，

即．

综上所述，对一切，都成立，

即存在使得．

证法2：，且

是以为首项，为公比的等比数列.

所以.

易知，所以当为奇数时，；当为偶数时，

即存在，使得.

（Ⅲ）证明：由（2），我们有，从而.

设，则由得.

由于，

因此n=1，2，3时，成立，左边不等式均成立．

当n>3时，有，

因此．

从而．即．

解法2: 由（Ⅱ）可知，所以

，所以

所以

所以当为偶数时，；所以当为奇数时，

即.(其他解法酌情给分)