【题目】如图所示,某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B=,AB=a,BC=a)地块开发成公共绿地,设计时,要求绿地部分有公共绿地走道MN,且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN),现考虑方便和绿地最大化原则,要求M点与B点不重合,A′落在边BC上,设∠AMN=θ.
(1)若θ=时,绿地“最美”,求最美绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求将AN,A′N的值设计最短,求此时绿地公共走道的长度.
【答案】见解析
【解析】解 (1)由∠B=,AB=a,BC=a,
所以∠BAC=.
设MA=MA′=xa(0<x<1),则MB=a-xa,
所以在Rt△MBA′中,cos(π-2θ)==,
所以x=.
由于△AMN为等边三角形,
所以绿地的面积
S=2××a×a×sin=a2.
(2)因为在Rt△ABC中,∠B=,AB=a,BC=a,
所以∠BAC=,所以在△AMN中,∠ANM=-θ,
由正弦定理得=,
设AM=ax(0<x<1),则A′M=ax,BM=a-ax,
所以在Rt△MBA′中,cos(π-2θ)==,
所以x=,即AM=,
所以AN=.
2sinθsin=sin2θ+sinθcosθ
=+sin2θ-cos2θ=+sin(2θ-),
因为<θ<,所以<2θ-<,
所以当且仅当2θ-=,即θ=时,AN的值最小,且AN=a,此时绿地公共走道的长度MN=a.
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求方程的实数解;
(Ⅱ)如果数列满足,(),是否存在实数,使得对所有的都成立?证明你的结论.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列的前项的和为,证明:.
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【题目】如图所示,一个圆柱形乒乓球筒,高为厘米,底面半径为厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球,乒乓球与球筒底面及侧面均相切(球筒和乒乓球厚度忽略不计).一个平面与两乒乓球均相切,且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知函数f(x)=sinωx·cosωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,sinB,sinA,sinC成等比数列,求此时f(A)的值域.
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【题目】(本小题12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,在培训期间,他们参加的5项预赛成绩记录如下:
甲 | 82 | 82 | 79 | 95 | 87 |
乙 | 95 | 75 | 80 | 90 | 85 |
(1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙高的概率;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.
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【题目】给出下列命题:
①点P(-1,4)到直线3x+4y =2的距离为3.
②过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.
③命题“x∈R,使得x2﹣2x+1<0”的否定是真命题;
④“x ≤1,且y≤1”是“x + y ≤2”的充要条件.
其中不正确命题的序号是 _______________ .(把你认为不正确命题的序号都填上)
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【题目】某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的4株大树中:
(1)两种大树各成活1株的概率;
(2)成活的株数ξ的分布列与期望.
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