【题目】如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:(1)在△APB中可证得AP⊥PB,再由条件可证得AP⊥平面PBC,从而得AP⊥BC,又AC⊥BC,AP∩AC=A,故可得BC⊥平面PAC,可得平面PAC⊥平面ABC. (2) 由PA⊥PC,PA⊥PB,可得∠BPC是二面角D-AP-C的平面角,在中,可得
即为所求。
试题解析:
(1)因为D是AB的中点,△PDB是正三角形,AB=20,
所以PD=AB=10,
所以AP⊥PB.
又AP⊥PC,PB∩PC=P,
所以AP⊥平面PBC.
又BC平面PBC,
所以AP⊥BC.
又AC⊥BC,AP∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC.
又BC平面ABC,
所以平面PAC⊥平面ABC.
(2)因为PA⊥PC,且PA⊥PB,
所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角.
由(1)知BC⊥平面PAC,
则BC⊥PC,
在中,
所以。
所以二面角D-AP-C的正弦值为。
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了了解两班学生寒假期间观看《中国诗词大会》的时长,分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查,将他们观看的时长(单位:小时)作为样本,绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).
(1)分别求出图中所给两组样本数据的平均值,并据此估计哪个班的学生平均观看的时间较长;
(2)从班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为
,从
班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为
,求
的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
立定跳远 (单位:米) | 1.96 | 1.92 | 1.82 | 1.80 | 1.78 | 1.76 | 1.74 | 1.72 | 1.68 | 1.60 |
30秒跳绳 (单位:次) | 63 | a | 75 | 60 | 63 | 72 | 70 | a-1 | b | 65 |
在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )
A. 2号学生进入30秒跳绳决赛 B. 5号学生进入30秒跳绳决赛
C. 8号学生进入30秒跳绳决赛 D. 9号学生进入30秒跳绳决赛
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某电动小汽车生产企业,年利润(出厂价
投入成本)
年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为
万元/辆,出厂价为
万/辆,年销售量为
辆,本年度为打造绿色环保电动小汽车,提高产品档次,计划增加投入成本,若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为
(
),则出厂价相应提高的比例为
.同时年销售量增加的比例为
.
(1)写出本年度预计的年利润(万元)与投入成本增加的比例
的函数关系式;
(2)为了使本年度的年利润最大,每辆车投入成本增加的比例应为多少?最大年利润是多少?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(Ⅰ)求方程的实数解;
(Ⅱ)如果数列满足
,
(
),是否存在实数
,使得
对所有的
都成立?证明你的结论.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列的前
项的和为
,证明:
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,嵩山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°;从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠ADC=150°;从D处再攀登800米方到达C处,则索道AC的长为________米.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列命题:
①点P(-1,4)到直线3x+4y =2的距离为3.
②过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为.
③命题“x∈R,使得x2﹣2x+1<0”的否定是真命题;
④“x ≤1,且y≤1”是“x + y ≤2”的充要条件.
其中不正确命题的序号是 _______________ .(把你认为不正确命题的序号都填上)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com