Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=60°，AB=AC=2

3

，以PA为直径的球O和PB、PC分别交于B₁、C₁
（1）求证B₁C₁∥平面ABC
（2）若二面角C-PB-A的大小为arctan2

3

，试求球O的表面积．

Answer 1

分析：（1）连接AC₁、AB₁，由题意可得：PA⊥AB、PA⊥AC，BP=CP，∠APB₁=∠APC₁，再根据球的性质可得：cos∠APB₁=

PB1

AP

=cos∠APC₁=

PC1

AP

，可得

PB1

PB

=

PC1

PC

，所以B₁C₁∥BC，进而结合线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）过点C作CD⊥AB于点D，则CD⊥平面ABP，过D作DE⊥PB于E，连CE，根据二面角的定义可得：∠CED是二面角C-PB-A的平面角，可得tan∠CED=

CD

DE

=2

3

，即DE=

3

2

，即可得到∠PBA=30°进而结合题意得到球的直径求出球的表面积．

解答：解：（1）连接AC₁、AB₁
∵PA⊥底面ABC
∴PA⊥AB、PA⊥AC
又∵AB=AC，易得△APC≌△APB

∴BP=CP，∠APB₁=∠APC₁
∵AP为球O的直径，∴AC₁⊥PC₁，AB₁⊥PB₁
∴cos∠APB₁=

PB1

AP

=cos∠APC₁=

PC1

AP

，
∴PB₁=PC₁…（3分）
∴

PB1

PB

=

PC1

PC

，
∴B₁C₁∥BC
又∵B₁C₁?平面ABC，BC?平面ABC
∴B₁C₁∥平面ABC   …（6分）
（2）过点C作CD⊥AB于点D，则CD⊥平面ABP，过D作DE⊥PB于E，连CE，由三垂线定理知：CE⊥PB，
∴∠CED是二面角C-PB-A的平面角，即∠CED=arctan2

3

，
∴tan∠CED=

CD

DE

=

AC•sin60°

DE

=

3

DE

=2

3

，
∴DE=

3

2

，
sin∠PBA=

DE

DB

=

3

2

×

1

3

=

1

2

，
∴∠PBA=30°…（9分）
∴AP=ABtan∠PBA=2

3

×

3

3

=2，
∴球O的半径R=1…（11分）
∴球O的表面积为S=4πR²=4π．…（12分）

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与线面平行的判定定理、三垂线定理，以及二面角平面角的定义与作法，本题也考查了球的有关性质与表面积公式，此题综合性较强属于难题，考查学生的空间想象能力与分析问题解决问题的能力．