Question

【题目】已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点. 设过点的动直线与相交于两点.

（1）求的方程；

（2）是否存在这样的直线，使得的面积为，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在这样的直线：或.

【解析】

（1）由可求得，再由离心率求得，最后由公式可得，从而椭圆标准方程；

（2）假设存在，分析斜率一定存在，设其方程为，同时设交点，

联立消去得， 注意，得的范围，由韦达定理得. 由圆锥曲线中弦长公式求得弦长，求得点到直线的距离，表示出三角形的面积，由解得，说明存在．

（1）设，因为直线的斜率为，

所以，.

又，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）当轴时，不合题意，由题意可设直线的方程为：，

联立消去得，

当，所以，即或时 ，

.

所以 ，

点到直线的距离，

所以，

设，则，

，解得或，即，

所以存在这样的直线：或.