Question

【题目】在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（是参数，是大于0的常数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；

（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的交点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长.

Answer 1

【答案】（1）圆的极坐标方程为，的直角坐标方程为（2），

【解析】

（1）利用消去参数，求得圆的普通方程，进而转化为极坐标方程.利用，以及两角差的余弦公式，将圆的极坐标方程转化为直角坐标方程.

（2）先求得两个圆的圆心和半径，利用两圆外切，圆心距等于两圆半径之和列方程，解方程求得的值.将分别代入的极坐标方程，利用的几何意义，求得线段的长.

（1）圆：（是参数）消去参数，

得其普通方程为，

将，代入上式并化简，

得圆的极坐标方程为.

由圆的极坐标方程，得.

将，，代入上式，

得圆的直角坐标方程为.

（2）由（1）知圆的圆心，半径；圆的圆心，半径，

，

∵圆与圆外切，

∴，解得，

即圆的极坐标方程为，

将代入，得，

得，

将代入，得，得，

故.