Question

【题目】某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标来衡量产品的质量.当时，产品为优等品；当时，产品为一等品；当时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.

（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；

（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为元，求的分布列与数学期望；

（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动.客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从到），若掷出反面，机器人向前移动两格（从到），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.

Answer 1

【答案】（1）（2）分布见解析，数学期望为41500；（3）证明见解析，此方案能吸引顾客购买该款产品.

【解析】

（1）根据条形图，可得优等品的频率为，进而可得其概率；（2）计算出的值可以为47000，39000，计算出其分别对应的概率，得到分布列，进而可得期望；（3）首先易得，，根据题意可得，化简即可得，即为等比数列，利用累加法可得，再分别计算出获胜和失败的概率，比较大小即可得结果.

（1）根据条形图可知，优等品的频率为，用频率估计概率，则任取一件产品为优等品的概率为.

（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为，

由题意，或

；

.

故的分布列为：

	47000	39000

所以数学期望.

（3）机器人在第0格为必然事件，，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率.机器人移到第格的情况只有两种：

①先到第格，又出现反面，其概率，

②先到第格，又出现正面，其概率.

所以，故

所以时，数列为首项，

公比为的等比数列.

所以，，，，，

以上各式累加，得，

所以

所以获胜概率，

失败概率

，所以获胜概率更大，

故此方案能吸引顾客购买该款产品.