Question

【题目】已知p：x2≤5x－4，q：x2－(a＋2)x＋2a≤0.

(1)若p是真命题，求对应x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）x的取值范围为[1,4]（2）a的取值范围为[1,4]

【解析】

（1）根据一元二次不等式的解法，即可求命题中对应的范围；
（2）利用是的必要不充分条件，建立条件关系，即可求的取值范围．

1)因为x2≤5x－4，

所以x2－5x＋4≤0，

即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4，

即对应x的取值范围为[1,4]．

(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}．

由x2－(a＋2)x＋2a≤0，

得(x－2)(x－a)≤0.

当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}；

当a>2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}；

当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}．

若p是q的必要不充分条件，则BA，

当a＝2时，满足条件；

当a>2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，

B＝{x|2≤x≤a}，

要使BA，则满足2<a≤4；

当a<2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使BA，则满足1≤a<2.

综上，a的取值范围为[1,4]．