Question

【题目】函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）f（x）=2sin（2x）（Ⅱ）k∈[，4]

【解析】

（Ⅰ）由函数的零点列式得到ω+φ=kπ，，再由已知求得周期，进一步求得ω，则φ可求，函数解析式可求；

（Ⅱ）由x的范围求得相位的范围，进一步求出函数值域，再由方程f（x）+log2k=0在x∈[，]上恒有实数解即可求得k的范围．

（Ⅰ）由题意，f（）=2sin（ω+φ）=0，即ω+φ=kπ，①

，

即T=，得ω=2，

代入①得φ=，，取k=1，得φ=，

∴f（x）=2sin（2x）；

（Ⅱ）∵x∈[，]，

∴∈[]，，得f（x）∈[-2，1]，

由f（x）+log2k=0，

得log2k=-f（x）∈[]，

∴k∈[，4]．