【题目】如图所示,在四棱台中,
底面
,四边形
为菱形,
,
.
(1)若为
中点,求证:
平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
试题(1)连接,可证
,又因为
底面
,可得
,即可得证.
(2)如图建立空间直角坐标系,求出
和平面
的一个法向量
的坐标,则直线
与平面
所成角的正弦值
.
试题解析:
(Ⅰ)∵四边形为菱形,
,连结
,则
为等边三角形,
又∵为
中点∴
,由
得∴
∵底面
,
底面
∴
,又∵
∴平面
(Ⅱ)∵四边形为菱形,
,
,
得,
,∴
又∵
底面
,
分别以,
,
为
轴、
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
、
、
、
∴,
,
设平面的一个法向量
,
则有,令
,则
∴直线与平面
所成角
的正弦值
.
点晴:本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面
内的两条相交直线
垂直,证明
平面
;第二问中通过建立空间直角坐标系
,求得
和平面
的一个法向量
,结合得到结论.
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【题目】已知抛物线,过点
的直线与抛物线交于
两点,又过
两点分别作抛物线的切线,两条切线交于
点。
(1)证明:直线的斜率之积为定值;
(2)求面积的最小值
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【题目】函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的一个零点为
,其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=
.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在x∈[,
]上恒有实数解,求实数k的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AC=AD=3,PA=BC=4.
(1)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
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【题目】新高考3+3最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的650名学生中随机抽取男生,女生各25人进行模拟选科.经统计,选择全理的人数比不选全理的人数多10人.
(1)请完成下面的2×2列联表;
选择全理 | 不选择全理 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合计 |
(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由;
(3)现从这50名学生中已经选取了男生3名,女生2名进行座谈,从中抽取2名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附:,其中
.
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【题目】已知函数f (x)=的图象在点(-2,f (-2))处的切线方程为16x+y+20=0.
(1)求实数a、b的值;
(2)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
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【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取到的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7,9:第四次取4个连续的偶数10,12,14,16……按此规律一直取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16…,则在这个子数列中,第2014个数是( )
A.3965B.3966C.3968D.3969
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【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,过原点
且斜率为1的直线交椭圆
于
两点,四边形
的周长与面积分别为12与
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与圆
相切,且与椭圆
交于
两点,求原点到
的中垂线的最大距离.
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