【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,
,过原点
且斜率为1的直线交椭圆
于
两点,四边形
的周长与面积分别为12与
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线与圆
相切,且与椭圆
交于
两点,求原点到
的中垂线的最大距离.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)不妨设点是第一象限的点,由四边形
的周长求出
,面积求出
与
关系,再由点
在直线
上,得到
与
关系,代入椭圆方程,求解即可;
(2)先求出直线斜率不存在时,原点到
的中垂线的距离,斜率为0时
与椭圆只有一个交点,直线
斜率存在时,设其方程为
,利用与圆
相切,求出
关系,直线
方程与椭圆方程联立,求出
中点坐标,得到
的中垂线方程,进而求出原点到
中垂线的距离表达式,结合
关系,即可求出结论.
(1)不妨设点是第一象限的点,
因为四边形的周长为12,所以
,
,
因为,所以
,
得,点
为过原点
且斜率为1的直线与椭圆的交点,
即点在直线
上,点
在椭圆
上,
所以,即
,
解得或
(舍),
所以椭圆的标准方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,直线为,
线段的中垂线为
轴,原点到
轴的距离为0.
当直线的斜率存在时,设斜率为
,依题意可设
,
因为直线与圆
相切,所以
,
设,
,联立
,
得,
由,得
,又因为
,所以
,
所以,
所以的中点坐标为
,
所以的中垂线方程为
,
化简,得,
原点到直线中垂线的距离,
当且仅当,即
时,等号成立,
所以原点到的中垂线的最大距离为
.
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【题目】下列各对事件中,不是相互独立事件的有( )
A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”
B.甲乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲乙两运动员各射击一次,“甲乙都射中目标”与“甲乙都没有射中目标”
D.甲乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
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【题目】设椭圆(
)的离心率为
,圆
与
轴正半轴交于点
,圆
在点
处的切线被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设圆上任意一点
处的切线交椭圆
于点
,试判断
是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
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【题目】如图所示,A,B分别是椭圆C:=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,
是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.
(1)求椭圆C的方程;
(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆,
、
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上一点,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线,过点
的直线交椭圆于
、
两点,线段
的垂直平分线分别交直线
、直线
于
、
两点,当
最小时,求直线
的方程.
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【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从
到
),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
,试证明
是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,
.
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【题目】如下面左图,在直角梯形中,
,
,
,
,
,点
在
上,且
,将
沿
折起,得到四棱锥
(如下面右图).
(1)求四棱锥的体积的最大值;
(2)在线段上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”,如图所示,是由边数不全相同的正多边形为面的多面体,体现了数学的对称美.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它们的边长都相等,其中八个为正三角形,六个为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为,则该二十四等边体外接球的表面积为( )
A.B.
C.
D.
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