【题目】已知双曲线 C 经过点 (2,3),它的渐近线方程为 y = ±.椭圆 C1与双曲线 C有相同的焦点,椭圆 C1的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等.
(1)求双曲线 C 和椭圆 C1 的方程;
(2)经过椭圆 C1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A、B 两点,是否存在定点 D ,使得无论 AB 怎样运动,都有∠ADF = ∠BDF ?若存在,求出 D 点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1); (2)存在点D
【解析】
(1)双曲线的方程为:,则.设椭圆的方程;椭圆的短轴长与双曲线的实轴长相等,椭圆与双曲线有相同的焦点即可得、、
(2)直线垂直轴时,、两点关于轴对称,要使,则点必在轴上,设,直线不垂直轴时,的方程设为:,设,,,,联立得.要使,即直线、的斜率互为相反数,即,求得
解:(1)双曲线方程为:,则.
双曲线的方程为.
设椭圆的方程;
椭圆的短轴长与双曲线的实轴长相等,
椭圆的短轴长为,椭圆与双曲线有相同的焦点,
即,,椭圆的方程为:;
(2)直线垂直轴时,、两点关于轴对称,
,要使,则点必在轴上,
设,直线不垂直轴时,的方程设为:,
设,,,,联立得.
.
,直线、的斜率互为相反数,
即,
时恒成立.
时,;
存在定点,,使得无论怎样运动,都有.
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【题目】给出下列命题:
(1)存在实数使;
(2)直线是函数图象的一条对称轴;
(3)()的值域是;
(4)若,都是第一象限角,且,则.
其中正确命题的序号为( )
A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)
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【题目】根据阅兵领导小组办公室介绍,2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团,总规模约1.5万人,是近几次阅兵中规模最大的一次.其中,徒步方队15个.为了保证阅兵式时队列保持整齐,各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制,太高或太矮都不行.徒步方队队员,男性身高普遍在175cm至185cm之间;女性身高普遍在163cm至175cm之间,这是常规标准.要求最为严格的三军仪仗队,其队员的身高一般都在184cm至190cm之间.经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人,得到她们身高的直方图,如图,记C为事件:“某一阅兵女子身高不低于169cm”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.5.
(1)求直方图中a,b的值;
(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
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【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)求购买金额不少于45元的频率;
(2)根据以上数据完成列联表,并判断是否有的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
女 | 18 | ||
合计 |
附:参考公式和数据:,.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
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【题目】设函数,其中,若、、是的三条边长,则下列结论:①对于一切都有;②存在使、、不能构成一个三角形的三边长;③为钝角三角形,存在,使,其中正确的个数为______个
A. 3B. 2C. 1D. 0
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【题目】在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(是参数,是大于0的常数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程;
(2)分别记直线:,与圆、圆的异于原点的交点为,,若圆与圆外切,试求实数的值及线段的长.
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【题目】甲、乙、丙三家企业产品的成本分别为10000,12000,15000,其成本构成如下图所示,则关于这三家企业下列说法错误的是( )
A.成本最大的企业是丙企业B.费用支出最高的企业是丙企业
C.支付工资最少的企业是乙企业D.材料成本最高的企业是丙企业
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【题目】如图,某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、,景区管委会又开发了风景优美的景点,经测量景点位于景点的北偏东方向处,位于景点的正北方向,还位于景点的北偏西方向上,已知.
(1)景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路,不考虑其他因素,求出这条公路的长;(结果精确到)
(2)求景点与景点之间的距离.(结果精确到)
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