Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P为面ADD₁A₁的对角线AD₁的中点．PM⊥平面ABCD交AD与M，MN⊥BD于N．
（1）求异面直线PN与A₁C₁所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）
（2）求三棱锥P-BMN的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）判断出∠PNM为异面直线PN与A₁C₁所成角，在△PMN中，∠PMN为直角，tan∠PNM=

2

，求解得出异面直线PN与A₁C₁所成角的大小为arctan

2

．
（2）BN=

3 2

2

，运用VP-BMN=

1

3

•

1

2

•PM•MN•BN，求解得出体积．

解答： 解：（1）∵点P为面ADD₁A₁的对角线AD₁的中点，且PM⊥平面ABCD，
∴PM为△ADD₁的中位线，得PM=1，
又∵MN⊥BD，
∴MN=ND=

2

2

MD=

2

2

，
∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，
∴MN∥AC，
又∵A₁C₁∥AC，∠PNM为异面直线PN与A₁C₁所成角，
在△PMN中，∠PMN为直角，tan∠PNM=

2

，
∴∠PNM=arctan

2

．
即异面直线PN与A₁C₁所成角的大小为arctan

2

．

（2）BN=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，VP-BMN=

1

3

•

1

2

•PM•MN•BN，
代入数据得三棱锥P-BMN的体积为

1

4

．

点评：本题考查了空间直线的夹角问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．