Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求三棱锥P-ACB的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据图形得出PD⊥AB．CD⊥AB，即可判断AB⊥平面PCD．得证PC⊥AB
（2）转化VP-ABC=

1

3

S△ABC×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

求解即可．

解答： 证明：（1）取AB中点D，连结PD，CD．
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．

∵AC=BC．
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D．
∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB．
（2）（2）在Rt△ABC中，
AC=BC=2
∴AB=

AC2+BC2

=2

2

，
在Rt△PDB中PB=2

2

，BD=

2

∴PD=

PB2-BD2

=

6

，
又∵PC⊥AC，PC⊥AB，AB∩AC=A
∴PC⊥平面ABC
∴PC⊥CD   
∴PC=

PD2-CD2

=2，
∴VP-ABC=

1

3

S△ABC×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

．

点评：本题考查了空间几何体的体积计算，空间直线与直线的位置关系，属于中档题．