Question

已知数列{a_n}，满足a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
（1）数列{

1

an

}是否为等差数列？说明理由．
（2）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）对a_n+1=

2an

an+2

两边同时取倒数得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，利用等差数列的定义即可判断；
（2）由（1）和等差数列的通项公式，求出{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）数列{

1

an

}是等差数列，由a₁=2得，

1

a2

=

1

2

，
因为a_n+1=

2an

an+2

，所以两边同时取倒数得

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以数列{

1

an

}是以

1

2

为首项、公差的等差数列；
（2）由（1）可得

1

an

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

，
所以{a_n}的通项公式是a_n=

2

n

．

点评：本题考查等差数列的判断方法：定义法，等差数列的通项公式，以及数列递推公式的化简方法，这是常考的题型．