Question

已知函数f（x）=2lnx，g（x）=ax，若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀），则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：把存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀）成立转化为f（x）-g（x）=2lnx-ax＜0在[1，e]上有解，即a＞

2lnx

x

在[1，e]上有解，构造函数h（x）=

2lnx

x

，利用导数求其最小值得答案．

解答： 解：f（x）=2lnx，g（x）=ax，
若存在x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＜g（x₀），
即f（x）-g（x）=2lnx-ax＜0在[1，e]上有解，
即a＞

2lnx

x

，
令h（x）=

2lnx

x

，则h′(x)=

2-2lnx

x2

，
当x∈[1，e]时，h′（x）＞0，函数h（x）在[1，e]上为增函数，
∴h（x）_min=h（1）=0．
∴a的取值范围为[0，+∞）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．