Question

如图所示，在边长为

2

的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CB（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量

AP

=m

AB

+n

AD

（m，n为实数），则m+n的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，

AB

=(

2

，0)，

AD

=(0，

2

)．可得

AP

=m

AB

+n

AD

=(

2

m，

2

n)．当圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P(

2

2

，-

2

2

)．
此时m+n取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，P(

5 2

2

，

5 2

2

)．此时m+n取得最大值．

解答： 解：如图所示，

AB

=(

2

，0)，

AD

=(0，

2

)．
∴

AP

=m

AB

+n

AD

=(

2

m，

2

n)．
当圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P(

2

2

，-

2

2

)．
此时

2

m=

2

2

，

2

n=-

2

2

，m+n=

1

2

-

1

2

=0，取得最小值；
当圆心为点C时，AP经过圆心时，P(

5 2

2

，

5 2

2

)．
此时

2

m=

5 2

2

，

2

n=

5 2

2

，此时m+n=

5

2

+

5

2

=5，取得最大值．
∴则m+n的取值范围为[0，5]．
故答案为：[0，5]．

点评：本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．