Question

已知函数f（x）=a^x-a•x，a≥e，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）设n∈N^*，比较

n(n+1)

2

lna与ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）的大小，并加以证明．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=e时，求导数，确定切线的斜率，即可求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1），利用分析法进行证明，关键证明aⁿ＞na-1．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=e时，f（x）=e^x-ex，
∴f′（x）=e^x-e，
∴f′（1）=0，f（1）=0，
于是f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=0．

（Ⅱ）

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1），
理由如下：因为a≥e，
欲证

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）成立，
只需证a

n(n+1)

2

＞（a-1）（2a-1）（3a-1）…（na-1），
只需证aⁿ＞na-1．
构造函数g(x)=

x

ax

，则g′（x）=

1-xlna

ax

．
因为a≥e，所以lna≥1．
令g′（x）＞0，得x＜

1

lna

；g′（x）＜0，得x＞

1

lna

．
所以函数g（x）在（-∞，

1

lna

）单调递增；在（

1

lna

，+∞）上单调递减．
所以函数g（x）的最大值为g(

1

lna

)=

1

elna

．所以

x

ax

≤

1

elna

，
所以

x-1

ax-1

≤

1

elna

，即a^x-1≥e（x-1）lna，则
a^x-ax+1=a[a^x-1-（x-1）]+1-a≥a[e（x-1）lna-（x-1）]+1-a
＞a[2（x-1）-（x-1）]+1-a=a（x-2）+1＞0，
所以a^x＞ax-1．
取x=n，得aⁿ＞na-1成立． 
所以当a≥e时，

n(n+1)

2

lna＞ln（a-1）+ln（2a-1）+ln（3a-1）+…+ln（na-1）成立．

点评：本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用（单调性、最值）、用点斜式求直线方程、比较不等式、证明不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等．