Question

已知函数f（x）=

3

sinxcosx-sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若f（

α

2

）=

1

10

，

π

3

＜α＜

5π

6

，求cosα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先利用三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的正周期．
（2）利用（1）的函数关系式，对角进行恒等变形，进一步利用公式的展开式求出结果．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-sin2x．
=

3

2

sin2x-

1-cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)-

1

2

所以：T=

2π

2

=π
（2）由（1）得：f（x）=sin(2x+

π

6

)-

1

2

所以：f(

α

2

)=sin(α+

π

6

)-

1

2

=

1

10

则：sin(α+

π

6

)=

3

5

因为：

π

3

＜α＜

5π

6

，
所以：

π

2

＜α+

π

6

＜π
则：cos(α+

π

6

)=-

4

5

cosα=cos[(α+

π

6

)-

π

6

]=cos（α+

π

6

）cos

π

6

+sin（α+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

•

3

2

+

3

5

•

1

2

=

3-4 3

10

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用正弦型函数的周期公式求函数的周期，角的恒等变化，求函数的值．属于基础题型．