Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PC的中点，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求证：PC⊥平面DEF；
（2）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）证明：PC⊥DF，DE⊥PC，利用线面垂直的判定定理证明PC⊥平面DEF；
（2）证明AD⊥平面PBD，即可求点A到平面PBD的距离．

解答： （1）证明：∵PD=DC，F为PC的中点，
∴PC⊥DF，
∵四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠BCD=90°
∴DE⊥平面PDC，
∴DE⊥PC，
∵DE∩DF=D，
∴PC⊥平面DEF；
（2）解：∵DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
∴AD⊥DB，
∵PD⊥AD，PD∩DB=D，
∴AD⊥平面PBD
∴AD=

2

为点A到平面PBD的距离．

点评：本题考查线面垂直的判定，考查点到平面的距离，正确证明线面垂直是关键．