Question

在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（　　）

• A、△OAB的面积为定值2
• B、△OAB的面积有最小值为3
• C、△OAB的面积有最大值为4
• D、△OAB的面积的取值范围是[3，4]

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：设P（a，

1

a

），求出曲线C在点P处的切线方程，再计算面积，即可得出结论．

解答： 解：由题意，y=

1

x

（x＞0），则y′=-

1

x2

设P（a，

1

a

），则曲线C在点P处的切线方程为y-

1

a

=-

1

a2

（x-a），
x=0可得y=

2

a

；y=0可得x=2a，
∴△OAB的面积为

1

2

×

2

a

×2a=2，即定值2，
故选：A．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．