Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（Ⅰ）求棱AA₁的长；
（Ⅱ）若A₁C₁的中点为O₁，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）设AA₁=h，由题设VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，可求出棱长．
（Ⅱ）因为在长方体中A₁D₁∥BC，所以∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角）那么借助于三角形求解得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设AA₁=h，
由题设VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10，
∴S正方形ABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=10，解得h=3．
故A₁A的长为3．

（Ⅱ）∵在长方体中，A₁D₁∥BC，
∴∠O₁BC为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角）．
在△O₁BC中，AB=BC=2，A₁A=3，
∴AA₁=BC₁=

4+9

=

13

，A1O1=

1

2

A1C1=

2

，
∴O1B=O1C=

11

，
则cos∠O₁BC=

BO12+BC2-O1C2

2•BO1•BC

=

11+4-13

2× 11 ×2

=

11

22

．
∴异面直线BO₁与A₁D₁所成角的余弦值为

11

22

．

点评：本题主要考查了点，线和面间的距离计算．解题的关键是利用了法向量的方法求点到面的距离．