Question

1．设x，y，z≥0，且x+y+z=1，求证：$\sqrt{16-48yz-15{x}^{2}}$+$\sqrt{16-48zx-15{y}^{2}}$+$\sqrt{16-48xy-15{z}^{2}}$≥9．

Answer 1

分析 利用“分析法”证明：根据对称性，要证明：$\sqrt{16-48yz-15{x}^{2}}$+$\sqrt{16-48zx-15{y}^{2}}$+$\sqrt{16-48xy-15{z}^{2}}$≥9．只需要证明：$\sqrt{16-48yz-15{x}^{2}}$≥3，$\sqrt{16-48zx-15{y}^{2}}$≥3，$\sqrt{16-48xy-15{z}^{2}}$≥3成立．即15（x²+y²+z²）+48（zx+xy+yz）≤21．即xy+yz+zx≤$\frac{1}{3}$．由（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）≥3（xy+yz+zx），即可得出xy+yz+zx≤$\frac{1}{3}$成立．

解答 证明：根据对称性，要证明：$\sqrt{16-48yz-15{x}^{2}}$+$\sqrt{16-48zx-15{y}^{2}}$+$\sqrt{16-48xy-15{z}^{2}}$≥9．
只需要证明：$\sqrt{16-48yz-15{x}^{2}}$≥3，$\sqrt{16-48zx-15{y}^{2}}$≥3，$\sqrt{16-48xy-15{z}^{2}}$≥3成立．
16-48yz-15x²≥9，16-48zx-15y²≥9，16-48xy-15z²≥9．
即48yz+15x²≤7，48zx+15y²≤7，48xy+15z²≤7．即15（x²+y²+z²）+48（zx+xy+yz）≤21．
即15[（x+y+z）²-2（xy+xz+yz）]+48（xy+yz+zx）≤21，
∵x+y+z=1，∴即证明xy+yz+zx≤$\frac{1}{3}$．
由（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+zx）≥3（xy+yz+zx），即可得出xy+yz+zx≤$\frac{1}{3}$成立．
因此原结论成立．

点评 本题考查了“分析法”、不等式的性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．