Question

在数列{a_n}中，如果存在非零常数T，使得a_m+T＝a_m对于任意正整数m均成立，那么就称数列{a_n}为周期数列，其中T叫作数列{a_n}的周期．已知数列{x_n}满足x_n+1＝|x_n－x_n－1|(n≥2，n∈N₊)，如果x₁＝1，x₂＝a(a≤1，a≠0)，且数列周期T＝3，则该数列的前2009项和为

[　　]

A．

668

B．

669

C．

1337

D．

1340

Answer 1

答案：D
解析：

分析：根据新定义概念可选用x4＝x1进行解答，因此可先通过等式xn+1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N+)确定x1，x4的值． 　　解：根据题意知x3＝|a－1|＝1－a，x4＝|2a－1|，由于数列的周期T＝3，故必有x4＝x1|2a－1|＝1，解得a＝1，或a＝0(舍去)，故此数列为1，1，0，1，1，0，…故每一周期内数列和为2，由于2009＝3×669＋2，所以此数列的前2009项即为2×669＋2＝1340．故选D． 　　点评：正确理解周期数列的概念是解答本题的关键，其实质是对于数列的任意一项，每隔相同项数，该项的值就会重新出现．本题解法主要是利用周期数列的每一个周期内的所有项的和，将前2009项划分为669个周期多两项．