Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点，求异面直线A₁F与D₁E所成角的余弦值．

Answer 1

证明：连接A₁C₁、C₁F、EF，
∵正方形AA₁B₁B中，E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点，
∴A₁B₁∥EF且A₁B₁=EF
∵A₁B₁∥C₁D₁且A₁B₁=C₁D₁，
∴EF∥C₁D₁且EF=C₁D₁，可得四边形C₁D₁FE是平行四边形
因此，D₁E∥C₁F，
∴∠A₁FC₁（或其补角）就是异面直线A₁F与D₁E所成角
设正方体棱长为2，则△A₁FC₁中，A₁F=C₁F=，A₁C₁=2
由余弦之理，得cos∠A₁FC₁==＞0
∴∠A₁FC₁是锐角，可得异面直线A₁F与D₁E所成角的余弦值为．
分析：连接A₁C₁、C₁F、EF，利用正方体的性质证出四边形C₁D₁FE是平行四边形，可得D₁E∥C₁F，所以∠A₁FC₁（或其补角）是异面直线A₁F与D₁E所成角．再正方体棱长为2，在△A₁FC₁中，算出A₁F、C₁F、A₁C₁的长度，利用余弦定理算出cos∠A₁FC₁的值，即可得到异面直线A₁F与D₁E所成角的余弦值．
点评：本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质和异面直线所成角的定义及求法等知识，属于基础题．