【题目】(2015·新课标I卷)在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线y=kx+a(a>0)交与M,N两点,
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P , 使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
【答案】
(1)
x-y-a=0或
x+y+a=0
(2)
存在
【解析】
(I)由题设可得M(2,a), N(-2
,a), 或M(-2
,a), N(2
,a), ∵y'=
x, 故y=
在x=2
a处的导数值为
,C在(2
a,a)处的切线方程为y-a=
(x-2
), 即
x-y-a=0. 故y=
在x=-2
a处的导数值为-
,C在(-2
a,a)处的切线方程为y-a=-
(x+2
), 即
x+y+a=0。 故所求切线方程为
x-y-a=0或
x+y+a=0。
(II)存在符合题意的点,证明如下:
设P(0,b)为复合题意得点,M(x1,y1), N(x2,y2), 直线PM, PN的斜率分别为k1,k2, 将y=kx+a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0. ∴ x1+x2=4k, x1x2=-4a. ∴k1+k2==
=
. 当b=-a时,有k1+k2=0, 则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以P(0,-a)符合题意。
【考点精析】认真审题,首先需要了解抛物线的参数方程(抛物线的参数方程可表示为
).
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【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线l的参数方程为 (t为参数,0<φ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1:
(t为参数,且t≠0),其中0
, 在以O为极点x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2::
=2sin
, C3:
=2
cos
(1)求C2与C3交点的直角坐标
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|最大值
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【题目】如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E、F分别在A1B1、C1D1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面
与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。
(1)(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);
(2)(Ⅱ)求直线AF与平面所成角的正弦值
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【题目】(2015·新课标I卷)函数f(x)=cos(x+
)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )
A.(k-
,k
+
), k
Z
B.(2k-
,2k
+
),k
Z
C.(k-,k+
), k
Z
D.(2k-,2k+
),k
Z
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【题目】在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,若将运动员按成绩由好到差编为号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间
上的运动员人数是
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【题目】(2015·四川)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3)
B.(1, 4)
C.(2,3)
D.(2,4)
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【题目】(2015·四川)如图,A , B , C , D为平面四边形ABCD的四个内角.
(1)证明:tan=
(2)若A+C=180°, AB=6, BC=3, CD=4, AD=5, 求tan+tan
+tan
+tan
的值.
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