【题目】以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线l的参数方程为 (t为参数,0<φ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设直线l与曲线C相交于A、B两点,当φ变化时,求|AB|的最小值.
【答案】
(1)解:直线l的参数方程为 消去参数可得:xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0;
即直线l的普通方程为xcosφ﹣ysinφ+2sinφ=0;
曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ.可得:ρ2cos2θ=8ρsinθ.
那么:x2=8y.
∴曲线C的直角坐标方程为x2=8y
(2)解:直线l的参数方程带入C的直角坐标方程,可得:t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0;
设A,B两点对应的参数为t1,t2,
则 , .
∴|AB|=|t1﹣t2|= = .
当φ= 时,|AB|取得最小值为8
【解析】(1)直接消去直线l的参数可得普通方程;根据ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2 , 进行代换即得曲线C的直角坐标方程.(2)将直线l的参数方程带入C的直角坐标方程;设出A,B两点的参数,利用韦达定理建立关系求解最值即可.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)求 sinA+sin(C﹣ )的取值范围.
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【题目】在极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l经过点M(5,6),且斜率为 .
(1)求圆 C的平面直角坐标方程和直线l的参数方程;
(2)若直线l与圆C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.
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【题目】已知函数f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当b=﹣1时,若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知椭圆C: 的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D 在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点,与x轴、y轴分别相交于点N和M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A、B分别作x轴的垂涎,垂足分别为A1、B1
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
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【题目】(2015·新课标I卷)在直角坐标系xoy中,曲线C:y=与直线y=kx+a(a>0)交与M,N两点,
(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(2)y轴上是否存在点P , 使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
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