Question

已知函数f(x)=

4x+1

2x

和函数g（x）=2^x-2^-x
（1）判断h(x)=

f(x)

g(x)

的奇偶性，并判断和证明y=lgh（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意h（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+ 1 2x

2x- 1 2x

=

4x+1

4x-1

，代入检验h（-x）与h（x）的关系即可判断函数的奇偶性；由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x₁＜x₂，则通过判断h（x₁）-h（x₂）=1+

2

4x1-1

-1-

2

4x2-1

的正负可先判断h（x）在（0，+∞）上的单调性，然后根据复合函数的单调性即可
（2）由函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数可得h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，整理可得λ＞1-

2

t+1

∈(-1，1)恒成立（t=

1

2x1+x2

），从而可求λ的范围

解答：解：（1）f（x）=

4x+1

2x

=2x+

1

2x

，g(x)=2x-

1

2x

∵h（x）=

f(x)

g(x)

=

2x+ 1 2x

2x- 1 2x

=

4x+1

4x-1

∴h(-x)=

4-x+1

4-x-1

=

1+4x

1-4x

=-h（x）
∴函数h（x）为奇函数  
h(x)=

4x+1

4x-1

=1+

2

4x-1

由h（x）＞0可得x＞0
设0＜x₁＜x₂，则h（x₁）-h（x₂）=1+

2

4x1-1

-1-

2

4x2-1

=

2(4x2-4x1)

(4x2-1)(4x1-1)

∵0＜x₁＜x₂，则4x2-4x1＞0，4x2-1＞0，4x1-1＞0
∴h（x₁）＞h（x₂），lgh（x₁）＞lgh（x₂）
∴y₁＞y₂
函数y=lgh（x）在（0，+∞）上递减…（6分）
（2）∵函数h（x）=f（x）+λg（x）是R上的增函数
∴h(x1)-h(x2)=(2x1-2x2)(λ+1+

λ-1

2x1+x2

)＜0，λ+1+

λ-1

2x1+x2

＞0，令t=

1

2x1+x2

＞0
∴λ＞1-

2

t+1

∈(-1，1)恒成立
∴λ≥1…（8分）

点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断及理由定义证明、判断函数的单调性，及函数单调性的定义的应用，属于函数知识的综合应用，具有一定的综合性．