Question

已知a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以先根据对数运算的性质，将原式中乘积转化和的形式，再构造新数列，求出新数列的通项，得到原数列通项，

解答： 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ，
∴lg(an+1•an)=lg2n，
∴lga_n+1+lga_n=nlg2．
∴lgan+1-

1

2

(n+1)lg2+

1

4

lg2=-[lgan-

1

2

nlg2+

1

4

lg2]
∵a₁=1，
∴lga1-

1

2

lg2+

1

4

lg2=-

1

4

lg2．
∴数列{lgan-

1

2

nlg2+

1

4

lg2}是以-

1

4

lg2为首项，-1为公比的等比数列．
∴lgan-

1

2

nlg2+

1

4

lg2=-

1

4

lg2×（-1）^n-1，
∴lgan=

1

2

nlg2-

1

4

lg2+

1

4

×(-1)nlg2，
∴an=2

2n-1+(-1)n

4

，n∈N^*．

点评：本题考查的是用构造法求数列通项，考查了化归转化的数学思想，也可以分n为奇数与偶数，奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，解决更简单些．本题难度适中，属于中档题．