Question

如图，把椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、P₇七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=

35

．

Answer 1

分析：根据椭圆的定义与椭圆的对称性，证出|P₁F|+|P₇F|=|P₂F|+|P₆F|=|P₃F|+|P₅F|=2a，结合|P₄F|=

c2+b2

=a和题中的数据，可得答案．

解答：解：将椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆
的上半部分于P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、P₆、P₇七个点，
F是椭圆的一个焦点，设椭圆的另一个焦点为F'，
根据椭圆的对称性，得|P₁F|+|P₇F|=|P₁F|+|P₁F'|=2a=10
同理可得：|P₂F|+|P₆F|=2a=10且|P₃F|+|P₅F|=2a=10
又∵|P₄F|=

c2+b2

=a=5
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|+|P₆F|+|P₇F|=7a=35，
故答案为：35

点评：本题着重考查了椭圆的标准方程、椭圆的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．巧妙运用椭圆的对称性，是解决本题的关键所在．