Question

10．已知函数f（x）=|x+t|的单调递增区间为[-1，+∞）．
（3）求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；
（4）设a，b∈M，证明：|ab+1|＞|a+b|．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，即可求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；
（2）利用分析法证明即可．

解答 （1）解：由已知得t=1，…．（1分）
所以|x+1|+1＜|2x+1|
当x＜-1时，-（x+1）+1＜-（2x+1），得x＜-1
当$-1≤x≤-\frac{1}{2}$时，（x+1）+1＜-（2x+1）得x∈ϕ
当$x＞-\frac{1}{2}$时，（x+1）+1＜（2x+1）得x＞1
综上得M={x|x＜-1或x＞1}…..（5分）
（2）证明：要证|ab+1|＞|a+b|，
只须证（ab）²+2ab+1＞a²+2ab+b²即证（ab）²-a²-b²+1＞0
因为（ab）²-a²-b²+1=a²（b²-1）-b²+1=（b²-1）（a²-1）
由于a，b∈{x|x＜-1，x＞1}，所以（b²-1）（a²-1）＞0成立
即|ab+1|＞|a+b|成立．…..（10分）

点评 本题考查绝对值的几何意义，考查分析法证明不等式，正确转化是关键．