Question

1．已知一个平放的各棱长均为 4 的三棱锥内有一个小球，现从该三棱锥顶端向锥内注水，小球慢慢上浮．当注入的水的体积是该三棱锥体积的$\frac{7}{8}$时，小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切（小球完全浮在水面上方），则小球的表面积等于（　　）

• A． $\frac{7π}{6}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先求出没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的$\frac{1}{8}$，
∵正四面体的各棱长均为4，
∴正四面体体积为$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴没有水的部分的体积是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
设其棱长为a，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
设小球的半径为r，则4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球的表面积S=$4π•\frac{1}{6}=\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．