Question

16．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的左，右焦点分别为F₁，F₂，双曲线的离心率为e，若双曲线上一点P使$\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=e$，则$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}{F_1}}$的值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，e，运用三角形的正弦定理和双曲线的定义，求得|PF₁|=4，|PF₂|=2．再由余弦定理求得cos∠PF₂F₁，运用向量数量积的定义计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的a=1，b=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{1+3}$=2，
可得$\frac{{sin∠P{F_2}{F_1}}}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=e$=$\frac{c}{a}$=2，
F₁（-2，0），F₂（2，0），P为右支上一点，
由正弦定理可得|PF₁|=2|PF₂|，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a=2，
解得|PF₁|=4，|PF₂|=2．
在△PF₂F₁中，由余弦定理得cos∠PF₂F₁=$\frac{{2}^{2}+{4}^{2}-{4}^{2}}{2×2×4}$=$\frac{1}{4}$，
则$\overrightarrow{{F_2}P}•\overrightarrow{{F_2}{F_1}}$=|$\overrightarrow{{F}_{2}P}$|•|$\overrightarrow{{F}_{2}{F}_{1}}$|•cos∠PF₂F₁=2×4×$\frac{1}{4}$=2．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点和离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的正弦和余弦定理，以及向量数量积的定义的应用，考查运算能力，属于中档题．